Ln et suites : recherche de seuil

Exercice 1

On considère la suite géométrique \((u_n)\)  de premier terme \(u_0=1\)  et de raison \(2\) .

1. Déterminer la limite de \((u_n)\) .
2. a. Justifier qu'il existe un entier naturel  \(n_0\)  tel que, pour tout entier naturel \(n \geqslant n_0\) , on a  \(u_n\geqslant 10^{2025}\) .
    b.  À l'aide de la fonction logarithme népérien, déterminer le plus petit entier naturel \(n\)  tel que \(u_n\geqslant 10^{2025}\) .

Exercice 2

Une tasse de thé est servie à une température initiale de 100 °C dans un milieu dont la température est constante. 
Pour tout entier naturel \(n\) , on note  \(T_n\) la température du thé à l’instant \(n\) , avec \(T_n\)  exprimée en degrés Celsius et  \(n\)  le temps exprimé en minutes.
On a ainsi \(T_0=100\) .
On admet que, pour tout entier naturel \(n,\ T_n=70 \times 0,8^n+30\) .
Camille aime boire son thé à une température d'au plus \(32\)  °C.
Déterminer le temps que devra attendre Camille pour pouvoir boire son thé.